إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين.

الإجابة الصحيحة هي : -٣٢.

الضرب الداخلي للمتجهين

في الرياضيات، يعتبر الضرب الداخلي للمتجهين عملية تحسب كمية قياسية أو عددًا ترتبط بزوج من المتجهات في فضاء متجهي. يختلف عن الضرب النقطي، والذي ينتج عنه متجه، حيث ينتج الضرب الداخلي رقمًا. يُستخدم الضرب الداخلي في العديد من التطبيقات، مثل الهندسة والفيزياء وتحليل المتجهات.

تعريف الضرب الداخلي

إذا كان لدينا متجهان u وv في فضاء متجهي، فإن الضرب الداخلي لهذين المتجهين، الذي يرمز له بـ u · v، يُعرّف على النحو التالي:

u · v = ⟨u, v⟩ = ∑ᵢ uᵢvᵢ

حيث يُمثل ⟨u, v⟩ إحداثيات المتجهين u وv في الأساس المتعامد.

خصائص الضرب الداخلي

يتميز الضرب الداخلي بعدة خصائص مهمة، بما في ذلك:

التماثل: u · v = v · u

التوزيعية: u · (v + w) = u · v + u · w

التجميعية: (u + v) · w = u · w + v · w

الإيجابية: u · u ≥ 0، حيث يكون المتجه u غير منعدم

الخطية في المتجه الأول والثاني: (αu) · v = α(u · v) و u · (αv) = α(u · v)، حيث α عدد حقيقي

إيجاد الضرب الداخلي بالمتجهات العمودية

إذا كان المتجهان u وv عموديين، فإن الضرب الداخلي لهما يكون صفرًا:

u · v = 0

إيجاد الضرب الداخلي بالمتجهات المتساوية

إذا كان المتجهان u وv متساويين، فإن الضرب الداخلي لهما يساوي مربع طول المتجه:

u · u = |u|²

تطبيقات الضرب الداخلي

لضرب الداخلي العديد من التطبيقات، منها:

حساب الزاوية بين المتجهين: cos θ = (u · v) / (|u||v|)

إسقاط متجه على متجه آخر: projᵢ v = ((u · v) / |u|²)u، حيث يمثل projᵢ v إسقاط المتجه v على المتجه u

إيجاد طول المتجه: |u| = √(u · u)

مثال

لنفرض أن لدينا المتجهين u = (2, 3) وv = (4, -1) في المستوى الإقليدي. لحساب الضرب الداخلي لهذين المتجهين، نستخدم المعادلة:

u · v = (2, 3) · (4, -1) = 2 × 4 + 3 × (-1) = 5

يعد الضرب الداخلي للمتجهين عملية أساسية في الرياضيات ذات العديد من التطبيقات في مجالات مختلفة. من خلال فهم خصائصه وكيفية استخدامه، يمكن للمرء حل مجموعة واسعة من المشكلات المتعلقة بالمتجهات والهياكل الهندسية الأخرى.